Разбиение доски на части

Рассмотрим центральный квадрат на (который находится на расстоянии в клеток от всех сторон доски). Покажем, что его накроет любой квадрат на Рассмотрим произвольный квадрат на Пусть его нижняя клетка Понятно, что иначе квадрат не поместится на доску. Таким образом, его нижняя левая клетка находится не выше и не правее нижней левой клетки центрального квадрата на Аналогичным образом доказывается, что его верхняя левая клетка не правее и не ниже верхней левой клетки квадрата на и т.д. Значит, доказали.

Следовательно, при каждом инвертировании цветов в квадрате на цвета в центральном квадрате на будут инвертироваться. Изначально в нём были белые клетки, значит они в нём будут при каждом очередном инвертировании, то есть чёрной доски мы не получим.