Разбиение доски на части

Разобьём доску на фигурки следующим образом:

В трёхклеточных уголках и квадратах может быть не более двух закрашенных клеток.

Теперь покажем, что в квадрате можно закрасить не больше клеток. В нём можно выделить непересекающиеся квадрат в котором точно есть две незакрашенные клетки, и трёхклеточный уголок, в котором одна клетка также не покрашена. Следовательно, в квадрате покрашено не более клеток, доказали.

Таким образом, суммарно на доске можно закрасить не более клеток. В качестве примера можно закрасить первый, третий, пятый и седьмой столбцы.