Разрезания и геометрические конструкции в текстовых

Назовем рб.триангуляцией правильного -угольника триангуляцию, в которой все треугольники являются равнобедренными. Пусть

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 1. Для любого натурального

Доказательство. Рассмотрим строну правильного -угольника. После разбиения она должна быть включена некоторый в равнобедренный треугольник Далее рассмотрим два варианта

1.

является основанием Тогда третья вершина лежит на серединном перпендикуляре к а с другой стороны является вершиной исходного многоугольника, что невозможно.

2.

является ребром Тогда третья вершина является одной из соседних к концу вершинам.

Таким образом, все стороны -угольника входят в треугольники любой триангуляции парами соседних, следовательно, при последовательной нумерации вершин числами от до при некоторой четности, все соседние вершины данной четности соединены отрезком.

Наконец, рб.триангуляция существует в том и только в том случае, если существует рб.триангуляция для правильного -угольника, что и отображает доказываемое равенство.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к исходному доказательству. Разобьем натуральный ряд на множества для всех нечетных Каждое число попадет в некоторое из данных множеств, причем ровно один раз. Заметим, что, в силу леммы на всех элементах некоторого из данных множеств значения функции равны между собой, а, значит, нам достаточно решать исходную задачу лишь для нечетных

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лемма 2. Если при некотором натуральном то рб.триангуляция существует тогда и только тогда, когда

при некотором натуральном

Доказательство. Поскольку нечетно существует по крайней мере одна сторона такая, что она образует треугольник не с соседней стороной многоугольника, а, значит, является основанием некоторого треугольника в триангуляции.

Назовем -сектором фигуру, которая лежит в одной из полуплоскостей относительно некоторой диагонали и содержит сторон исходного многоугольника. Данную диагональ назовем его основанием.

Таким образом, исходный многоугольник разбивается на на два -сектора. Основание -сектора не может являться ребром некоторого треугольника, то есть является его основанием, следовательно, триангуляция существует только тогда, когда существует вершина на серединном перпендикуляре к основанию, то есть когда кратно

Так, каждый из -секторов разбивается на два -сектора, для каждого из которых верны рассуждения выше, пока сектор не будет содержать одну сторону. Тем самым, при некотором натуральном

Из данных рассуждений однозначно строится пример для любого

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Таким образом, любой -многоугольник имеет рб.триангуляцию тогда и только тогда, когда причем для некоторого натурального а, значит, для некоторого натурального