Счёт площадей, рельсы Евклида, теорема о линолеуме
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность 
с центром в точке 
на стороне 
треугольника 
касается сторон 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Известно, что 
, а угол 
равен 
. Найти углы треугольника 
и отношение его площади к площади круга,
ограниченного окружностью 
Подсказка 1
Давайте будем думать, как нам считать и что через что выражается. Сразу понятно, что если нам дан угол EOD, то и угол B нам также дан. При этом, если у нас были бы известны углы C и A, то крайне понятно считались бы оба прямоугольных треугольника AOD и COE. Что нам это дает, для нахождения углов? Как мы можем их между собой связать?
Подсказка 2
Мы могли бы связать углы A и С, так как в прямоугольных треугольниках две стороны равны как радиусы, а отношение двух других равно константе. При этом, есть еще одна связь, что сумма углов A и С равна заданному углу DOE. Значит, мы найдем углы A и C. Как теперь можно найти отношение площадей круга и треугольника, если уже известны углы, а значит и радиус и стороны треугольника ABC?
Подсказка 3
Верно, к примеру, мы можем расписать через sin(DOE/2) и cos(DOE/2) отрезок DE, так как треугольник DOE - равнобедренный(т.синусов и опустить высоту, к-ая будет и медианой). Значит, мы через известный нам котангенс, выразим котангенс от половины такого же угла, а после этого сможем явно написать чему равны отрезки BD, BE и OE(последнее - радиус), а значит, найдем окружность. Правда ли, что теперь у нас осталось выразить только отрезки CE и AD и площадь треугольника также будет найдена?
Подсказка 4
Ну конечно, ведь тогда мы найдем обе стороны нашего треугольника и угол между ними. А значит и площадь. Как их найти? Так у нас же есть радиус и углы в прямоугольных треугольниках. Значит, мы сможем, все что нужно найти. Остается только посчитать :)
Обозначим
Так как 
, то 
Из прямоугольных 
и 
находим
Так как 
и 
— радиус окружности 
Так как 
, то получаем 
, т. е.
Так как угол 
острый как угол прямоугольного 
Из равнобедренных 
и 
находим 
Отсюда 
Тогда площадь 
равна
И искомое отношение равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
