Вписанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная призма 
с основанием 
Плоскости 
и 
перпендикулярны 
и проходят через вершины
и 
соответственно. Пусть 
и 
соответственно — точки пересечения плоскостей 
и 
с диагональю 
, при этом
(b) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 3 касается всех боковых граней призмы, а также плоскостей 
и
Найдите отрезок 
и объём призмы 
(a) Из соображений симметрии (относительно плоскости 
) плоскость 
проходит через точку 
— и, значит, через центр
грани 
. Отрезки 
и 
— проекции параллельных отрезков 
и 
на прямую 
, причём 
.
Значит, 
.
(b) Поскольку сфера касается всех боковых граней призмы, её проекция на основание есть окружность, вписанная в это основание.
Значит, 
. Кроме того, 
и 
— это две параллельные плоскости, касающиеся сферы, поэтому расстояние
между ними равно диаметру сферы, то есть 6. Так как 
, этим расстоянием является отрезок 
, поэтому
.
Обозначим 
. Поскольку 
— высота прямоугольного треугольника 
, то
и, следовательно, 
. Тогда
и
Получаем уравнение
поскольку 
.
Наконец, высота призмы равна
А объём призмы равен
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
