Вписанная сфера

Пусть — первая пирамида, — её общая боковая грань со второй, и — центры шаров, вписанных в пирамиды, — центр внешнего шара. Ввиду равенства пирамид вписанные в них шары касаются грани в одной точке Так как и точка лежит на отрезке причём

Пусть — точка касания с гранью шара, вписанного в первую пирамиду. В этой же точке касается и внешний шар. Поэтому точка лежит на отрезке причём Аналогично получается, что Выберем точку на отрезке так, что и положим

Тогда

По условию откуда

Покажем, что — угол между гранями и Действительно, и — радиусы шара, вписанного в первую пирамиду, откуда и Значит, Кроме того, прямая лежит в плоскости , а — в плоскости

Пусть Опустим из точек и перпендикуляры на ребро Они придут в одну точку так как треугольники и равны. По доказанному Заметим, что

Тогда по теореме косинусов для треугольника