Вписанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сфера с центром 
вписана в трёхгранный угол с вершиной 
и касается его граней в точках 
(все плоские углы трёхгранного
угла различны). Найдите угол 
и площадь сечения данного трёхгранного угла плоскостью 
, если известно, что
площади сечений трёхгранного угла плоскостями, касающимися сферы и перпендикулярными прямой 
, равны 
и
.
Подсказка 1
Раз нас просят отыскать ∠KSO будет рассматривать плоскость (KSO), а, точнее, ту её часть, что заключена между прямыми SO и SK. Нам понадобятся точки P и Q — точки касания сферы с плоскостями, перпендикулярными SO. Пусть при это SP < SQ. Отметьте всё, что можно выразить через радиус сферы.
Подсказка 2
Рассмотрим отрезки, заключенные между точками пересечения SK и SO с касательными к сфере плоскостями. Если мы знаем отношение площадей сечений, то что можно сказать об отношении этих отрезков? (Вспомните: площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия). Пользуясь этим отношением вы сможете найти связь между SP и радиусом сферы.
Подсказка 3
Помните: радиус сферы, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости. А значит, мы можем найти синус ∠KSO, ведь всё нужное для этого мы выразили через радиус сферы.
Подсказка 4
Что можно сказать про (KLM) и SO? Проведите высоты к SO в △KSO, △MSO и △LSO — это поможет нам сделать важный вывод!
Подсказка 5
После того, как мы заметили перпендикулярность (KLM) и SO, можно поработать с подобными прямоугольными треугольниками: узнав отношение отрезков параллельных секущих плоскостей, заключённых между точками их пересечения с SO и SK, мы сможем сделать вывод и об отношениях площадей сечения!
Обозначим точки пересечения прямой 
со сферой через 
и 
(точка 
лежит на отрезке 
, а 
— вне него). Пусть радиус
сферы равен 
. Треугольники 
и 
прямоугольные (углы при вершинах 
прямые, так как касательные
перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе 
—
общая), следовательно, 
пусть 
. Высоты, опущенные из точек 
на гипотенузу 
,
paвны, а их основания — одна и та же точка 
, лежащая в плоскости 
(назовём эту плоскость 
. Пусть 
и 
касательные
плоскости к сфере, проходящие через точки 
и 
, а 
и 
— точки пересечения этих плоскостей с прямой 
. По условию площади
сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно 
и 
. Рассмотрим сечение трехгранного угла и
сферы плоскостью 
(см. рис. и обозначения на нем). Так как 
и 
, то 
. Тогда сечения
трёхгранного угла плоскостями 
и 
— подобные треугольники, плоскости которых параллельны (все они перпендикулярны
.
Если 
— площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью 
, то из подобия
Следовательно, 
Тогда 
откуда
a 
Отсюда 
Далее, 
Значит,
откуда 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
