Вписанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основание треугольной пирамиды 
— правильный треугольник 
Объём пирамиды равен 
, а её высота, проведённая из
вершины 
, равна 
Точка 
— середина ребра 
Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды 
и 
, равны
между собой.
(a) Найдите возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре 
(b) Найдите все возможные значения длины ребра 
, если дополнительно известно, что грани 
и 
взаимно
перпендикулярны.
Источники:
Пункт а), подсказка 1
Как можно применить данные о равенстве радиусов сфер, вписанных в пирамиды? В условиях, когда известен объём, хочется подумать о формуле, связывающей радиус с объёмом и площадью поверхности. (Если такая вам неизвестна, попробуйте её вывести по аналогии с планиметрическим S = p*r)
Пункт а), подсказка 2
Итак, что мы видим: одна грань у этих пирамид общая, две другие попарно равновелики, так как М является серединой CD. Что в этом случае можно сказать об оставшейся паре граней?
Пункт а), подсказка 3
У нас появились равные по площади грани! Известный объём пирамиды и высота к одной из них помогут нам отыскать площади этих граней. Нетрудные вычисления откроют нам ещё и длину высоты грани ADB.
Пункт а), подсказка 4
Проведите высоту к основанию АВС Данной пирамиды и её апофему в грани ADB. Какая теорема поможет нам достроить имеющуюся конструкцию до линейного угла двугранного угла? Мы знаем достаточно, чтобы найти триг. функцию от искомого угла! Не забывайте только — нам никто не говорил что искомый уголочек будет острым ;)
Пункт б), подсказка 1
Какой вывод о расположении высоты пирамиды мы можем сделать из перпендикулярности двух её граней?
Пункт б), подсказка 3
Осталось снова применить теорему Пифагора и искомое ребро у нас в кармане :) Только будьте внимательны: совсем не обязательно высота нашей пирамиды будет падать именно на ребро, а не на его продолжение!
Воспользуемся формулой радиуса вписанной сферы 
, где 
— объём, а 
— площадь поверхности пирамиды. Объёмы пирамид
и 
равны (грань 
общая, а вершины 
и 
равноудалены от плоскости 
); кроме того 
и
(медиана делит площадь треугольника пополам). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды 
и
, эквивалентно условию 
или равенству высот, проведённых к стороне 
в треугольниках 
и
.
Пусть 
высота пирамиды, а 
высота в треугольнике 
. Объём пирамиды равен 
, а её высота из вершины 
равна 3,
то есть 
. Значит, площадь основания пирамиды равна 
. Тогда сторона основания 
, а высота треугольника 
равна 5.
Значит, 
также равно 5. Из прямоугольного треугольника 
находим 
, т.е. точка 
находится на
расстоянии 4 от прямой 
(
лежит на одной из двух прямых, параллельных 
, на расстоянии 4 от неё). Тем самым, угол между
гранями при ребре 
равен 
.
Из условия, что грани 
и 
взаимно перпендикулярны, следует, что 
лежит на 
. Так как 
, то 
.
Значит 
или 
. Тогда 
или 
.
или 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
