Вписанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная в треугольную пирамиду 
сфера касается граней 
и 
в точках 
и 
соответственно. Известно, что 
является точкой пересечения высот треугольника 
, что плоскости 
и 
параллельны и что радиус окружности, описанной около треугольника 
в четыре раза больше радиуса окружности,
описанной около треугольника 
. Найдите отношение, в котором сфера делит отрезок 
, считая от вершины
Источники:
Подсказка 1
В задаче фигурирует ортоцентр, это явно неспроста. Пусть А2, B2, C2 - вершины ортотреугольника и О - центр сферы. Что можно заметить?
Подсказка 2
Представляют интерес четырехугольники OA1A2D1, OB1B2D1, OC1C2D1. На какие фигуры их можно разбить?
Подсказка 3
Они разбиваются на равные прямоугольные треугольники! Можем поотмечать равные углы и затем отметить равные отрезки.
Подсказка 4
В итоге имеем, что D1 - точка пересечения биссектрис АВС. Что тогда можем сказать?
Подсказка 5
ABC - правильный треугольник! (так как его ортоцентр совпал с инцентром) Тогда мы можем сказать какая прямая является высотой пирамиды.
Подсказка 6
Остается провести радиусы окружностей из условия и в вспомогательной плоскости поработать с нашей конструкцией.
Пусть 
— центр сферы и пусть 
— основания высот треугольника 
, опущенных из вершин 
соответственно.
Рассмотрим четырёхугольники 
, 
. Каждый из них состоит из двух равных прямоугольных
треугольников. При этом катеты 
равны.
Из равенства расстояний от 
до плоскости 
следует, что равны углы 
, а стало быть, равны и
углы 
, 
. Значит, равны отрезки 
, то есть 
является точкой пересечения биссектрис
треугольника 
. При этом 
это ортоцентр 
. Стало быть, треугольник 
правильный. Поскольку углы
равны, 
— высота пирамиды. Опустим из 
перпендикуляр 
на 
. Тогда радиус
окружности, описанной около треугольника 
равен 
. Радиус же окружности, описанной около треугольника
равен 
. Получаем, что 
. Отсюда видим, что 
. Стало быть,
. Получаем, что искомое отношение равно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
