Вписанная сфера
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду, равен 
. Найдите величину двугранного угла при боковом ребре этой
пирамиды, при котором максимален объём другой пирамиды, вершинами которой служат центр вписанной в исходную пирамиду сферы и
точки касания этой сферы с боковыми гранями исходной пирамиды.
Источники:
Подсказка 1
Для начала хочется понять, что хорошего мы можем сказать о маленькой пирамидке?
Подсказка 2
Она правильная! А как должны соотноситься между собой длины стороны основания и боковой стороны, чтобы объем правильной пирамиды был максимален?
Подсказка 3
Если а – сторона основания, а b – длина боковой стороны, мы без проблем можем записать выражение для объема пирамиды, рассмотреть это как функцию от а и через производную найти максимум! Какой в этом случае будет угол при вершине маленькой пирамиды? А чему равен искомый угол?
Пусть у некоторой правильной пирамиды 
с основанием 
известно боковое ребро 
Давайте посчитаем, при какой длине
стороны основания 
пирамида будет обладать наибольшим объемом.
Пусть 
— центр основания 
Теперь 
это функция от 
Возьмем производную по 
Она зануляется при 
и в этой точке производная меняет свой знак
с + на -. Значит, это точка максимума и объем максимальный при 
.
Вернёмся к задаче. Пирамида, вершинами которой служат точки касания и центр сферы, является правильной треугольной
пирамидой с ребром 
. Значит, чтобы объем был максимальным, нужно добиться того, чтобы сторона ее основания была
.
Пусть исходная пирамида 
с основанием 
— центр вписанной сферы. 
точки касания сферы с плоскостями
, 
, 
соответственно.
Из точек 
и 
проведем перпендикуляры к 
, в силу симметрии они попадут в одну точку 
.
По доказанному ранее 
и при этом 
. Значит, 
, но тогда угол 
прямой, а его нам и нужно
было найти.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
