Вписанная сфера

Подсказка 1

У нас уже есть площадь одной боковой грани. Может, тогда попытаемся найти площади остальных? Подумайте, как соотносятся между собой площади треугольников △SBC и △SAB...

Подсказка 2

Вроде как, напрямую связь между ними установить не получается. Давайте попробуем посмотреть на объемы тетраэдров SAOB и SBOC: они относятся как площади треугольников △SAB и △SBC. А как еще можно найти их отношение?

Подсказка 3

Т.к. объемы SABE и SBCE относятся как площади △ABE и △BEC (то есть как AE к EC), а также объемы OAEB и OBEC относятся как эти площади, то и их разности (то есть SAOB и SBOC) относятся как AE к EC. Тогда верно равенство S(△SAB)/S(△SBC)=AE/EC ⇒ S(△SAB)=20. Теперь найдите площади остальных боковых граней!

Подсказка 4

Нам осталось только найти площадь основания (назовем ее S₀). Мы знаем, что O делит SE в отношении 7/2. Тогда r=h*2/9, где r- радиус вписанной сферы, а h- высота пирамиды. Мы знаем, что V=S₀*h*1/3=S₀*r*3/2, где V- объем нашей пирамиды. Как еще, зная площади боковых граней, можно выразить V?

Подсказка 5

Через объемы тетраэдров ESAB, ESBC, ESCD и ESDA! Про них мы знаем, что высоты, опущенные из вершины E, равны r*9/7. Тогда мы без проблем сможем записать V через сумму объемов этих тетраэдров, приравнять к S₀*r*3/2 и найти площадь основания!