Вписанная сфера

Подсказка 1

Центр нашей сферы лежит на высоте, а уголки ∠ASB и ∠ASC равны. Не наблюдается ли тут какая-нибудь симметрия...

Подсказка 2

Действительно, наша картинка симметрична относительно плоскости SAD! Тогда SB=SC=a и AB=AC. Хочется доказать, что D будет центром вписанной окружности треугольника △ABC. Пускай A₁, B₁, C₁- основания перпендикуляров, опущенных из точки D на ВС, AC и AB соответственно. Что мы можем сказать про треугольники △SC₁D, △SB₁D и △SA₁D?

Подсказка 3

Они равны, ведь имеют общий катет SD, а острые уголочки, прилежащие к нему, равны в силу того, что SD содержит центр вписанной сферы. Тогда и высоты SC₁, SB₁ и SA₁ равны между собой ⇒ SC₁=SB₁=SA₁=a/√2. Как нам найти SB...

Подсказка 4

В треугольнике △ASB высота SC₁ равна a/√2, а сторона SB=a ⇒ ∠SBA=45°. Тогда в треугольнике △SAB мы знаем два угла и сторону ⇒ можем найти остальные стороны. Получается, что SA=a*√5/3 и AB=a*2√2/3. Т.к. SB=SC ⇒ A₁- середина BC ⇒ AA₁- высота △ABC. Если бы мы знали DA₁, мы бы легко нашли SD...

Подсказка 5

Т.к. DA₁ равен радиусу вписанной окружности треугольника △ABC, то нам необходимо просто посчитать его площадь. Его площадь равна AA₁*BC/2. Тогда r=AA₁*BC/(AB+BC+AC)=a/√14 ⇒ из теоремы Пифагоры для △SDA₁: SD=a*√(3/7). А как будем искать радиус вписанной сферы?

Подсказка 6

Давайте отразим A₁ относительно D и получим точку A₂. Нетрудно заметить, что радиус вписанной окружности треугольника △SA₁A₂ совпадает с радиусом сферы. В этом треугольнике мы уже все знаем, поэтому для вас найти его будет проще простого!