Вписанная сфера

В силу симметрии центр вписанного в пирамиду шара будет лежать на высоте

Проведем аналогию с плоскостью. Центры вписанных шаров лежат на одной прямой и гомотетичны относительно точки Из гомотетии следует, что шар, вписанный в трёхгранный угол, будет касаться плоскости в точке, лежащей на следовательно, можно нарисовать треугольник

Точка касания шара, вписанного в пирамиду, с плоскостью лежит на высоте прямоугольника

С помощью этого мы можем узнать радиус. Рассмотрим треугольник в нём поэтому по теореме Пифагора. Теперь, чтобы узнать радиус шара, мы должны найти точку такую что будет равно перпендикуляру из к прямой Напишем уравнение, используя теорему Пифагора:

Следовательно, радиус шара, вписанного в пирамиду, будет равен

Вернемся к плоскости. Через подобие треугольников и найдем коэффициент подобия и найдем

Через диагональ и теорему Пифагора Через теорему Пифагора При этом