Конус

Пункт а), подсказка 1

Четырёхугольник KLMN явно является параллелограммом. Но что ещё следует из попарной параллельности сторон, если мы в правильной треугольной пирамиде?

Пункт а), подсказка 2

Наш параллелограмм будет прямоугольником, так как в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикуляры, то есть AB ⊥ SC. Что тогда можно сказать про радиусы конусов? А про расположение точки P на ребре AB?

Пункт а), подсказка 3

В силу симметричности KLMN относительно плоскости, проходящей через SC и середину AB, точка P будет лежать на середине стороны AB. Теперь мы получили прямоугольный треугольник APS, из которого нас очень интересует угол SAP. Если обозначит AP за a и AS за l, то интересующий нас угол можно будет найти как arccos(a/l). Обратите внимание, что у нас много параллельных прямых, они все намекают на какие-то конструкции с подобиями, которые должны помочь нам найти отношение a/l.

Пункт а), подсказка 4

На гранях нашей пирамиды мы вряд ли сможем что-то найти, так как нам почти ничего неизвестно про них, зато много что в данной задаче происходит в плоскости SPC. Давайте отметим середины NM и KL и назовем их X и Y соответственно. Нетрудно заметить, что X и Y тоже находятся в ней. Что тогда можно сказать про треугольники PCS и PXY?

Пункт а), подсказка 5

Треугольники PCS и PXY подобны, мы уже знаем, как выразить все из стороны кроме PY и PX через a и l. Из подобия найдите, как оставшийся стороны выражаются через отношение a/l.

Пункт а), подсказка 6

Мы всё ещё почти никак не использовали наши конусы, давайте обозначим их центры как O₁ и O₂. На какой прямой находятся данные точки? А радиусы конусов должны помочь вам найти длины отрезков O₁Y и O₁X.

Пункт а), подсказка 7

Не забываем, что наш конус прямой, значит, PO₁ ⊥ XY. Мы получаем два прямоугольных треугольника, которые связывают наши ранее найденные O₁Y, O₁X и PY, PX. Хочется получить уравнение, которое позволяет найти значение для a/l, подумайте, как его можно составить.

Пункт б), подсказка 1

Нам уже известно отношение a и l, давайте найдём, чему же они равны. Хочется получить уравнение, связывающее их, чтобы можно было подставить вместо l его выражение через a, получив уравнение относительно a. В этом нам отлично помогу подобия в треугольниках ABC и SPC.

Пункт б), подсказка 2

Просто взять и найти длину отрезка CQ выглядит довольно сложной задачей, так как данный отрезок не участвует ни в одном подобии и уравнении. Хотелось бы разбить его на части, которые найти уже гораздо проще. Здесь нам снова должны помочь подобия, подумайте, какая точка на отрезке XY нам будет удобна, чтобы провести через неё прямую из вершины P, разбивающую SC.

Пункт б), подсказка 3

Пусть прямая PO₁ пересекает SC в точке H. Чтобы найти длины CH и HQ, подумайте, чем является прямая PH в треугольнике PSC и чем является четырёхугольник HO₁O₂Q.