Конус
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих
конусов равны по 
. Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.
Источники:
Подсказка 1
Отметьте на рисунке оси (назовём их SA₁ и SA₂) и образующие, по которым пересекаются конусы (SB и SC), пусть SO – прямая пересечения плоскости, по которой пересекаются конусы, и плоскости, содержащей оси конусов. Подумайте, как связаны между собой имеющиеся на рисунке уголки.
Подсказка 2
Хочется свести задачку к более простой, давайте для этого расположим точки А₁, А₂, В, С таким образом, чтобы они лежали в плоскости, перпендикулярной SO. Теперь, зная связь между углами на рисунке, мы сможем выразить через них и длину SO длины некоторых отрезков.
Подсказка 3
Теперь можно двумя способами записать выражение для одного и того же отрезка (например, А₁С), приравнять результаты, и получить таким образом связь между искомым углом и углом при вершине конуса.
Пусть 
— общая вершина рассматриваемых конусов, 
и 
— их оси. Обозначим через 
и 
их общие образующие и через
искомый угол 
. Описанная в задаче конфигурация имеет две плоскости симметрии: одна — 
— содержит оси
конусов, другая — 
— содержит их образующие. Тогда эти плоскости перпендикулярны. Пусть 
— прямая их
пересечения.
Обозначим через 
угол при вершине в осевом сечении каждого из конусов. Так как 
является образующей для конуса с осью
и наоборот, то 
. Кроме того,
Точки 
можно выбирать произвольно на прямых 
Будем считать, что точки
лежат в некоторой плоскости, перпендикулярной прямой 
и расположенной на расстояние 
от вершины 
. Тогда
из пирамиды 
, в которой все плоские углы при вершине 
прямые, имеем
Тогда по теореме косинусов для треугольников 
и 
Приравняем эти выражения, сократим на 
и применим основное тригонометрическое тождество в виде 
Мы знаем, что 
, поэтому 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
