Пирамиды с общим трёхгранным углом и/или высотой
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
и 
— проекции вершины 
правильной треугольной пирамиды 
на биссекторные плоскости двугранных углов при
рёбрах 
и 
Найдите тангенс каждого из этих углов, если объём пирамиды 
в 
раз меньше объёма пирамиды
Источники:
Подсказка 1
Сходу непонятно, что делать с условием на перпендикуляры к плоскостям, может, попытаться сделать какое-то дополнительное построение, связанное с вершиной S и одной из этих плоскостей?
Подсказка 2
Правильно, сделать симметрию точки S относительно плоскости A'BC и получить точку S₁. Попробуйте получить точки S₂, S₃ по такой же симметрии, только относительно AB'C и ABC'.
Подсказка 3
Мы получили треугольник S₁S₂S₃, кажется, что он концентричен с треугольником ABC (докажите это, используя поворот относительно высоты пирамиды).
Подсказка 4
Треугольник PSS₁ равнобедренный (P - середина BC), так как PA' - высота и биссектриса, а значит SA'=A'S₁, следовательно, пирамида SS₁S₂S₃ является образом SA'B'C' при гомотетии с коэффициентом 2 и центром в S, а значит, как относятся их объемы?
Подсказка 5
Правильно, в 8 раз. Теперь мы можем использовать условие с отношениями объемов SABC и SA'B'C', найдя отношение объемов SABC и SS₁S₂S₃ и отношение площадей их оснований.
Подсказка 6
Проведём высоту SO нашей пирамиды и найдем отношение S₁O/AO с помощью отношения площадей.
Подсказка 7
Выразим S₁O и OA через SO и найдем тангенс угла, который нужно вычислить в задаче с помощью найденных отрезков.
Точки 
и 
симметричные 
относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости 
А поскольку тройка этих
биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на 
вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек
Следовательно, треугольник 
— правильный, и его центр, который мы обозначим через 
совпадает с центром
треугольника 
Заметим, далее, что пирамида 
—- образ пирамиды 
при гомотетии с центром 
и коэффициентом 
С учётом
условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид 
и 
равно 
А поскольку у этих пирамид общая
высота 
то и отношение площади треугольника 
к площади треугольника 
равно 
В качестве следствия
получается равенство 
которое будет нами использовано.
Обозначив величину двугранного ребра при ребре 
через 
, точкой, симметричной 
относительно соответствующей биссекторной
плоскости будем считать 
Тогда 
где 
— середина ребра 
; треугольник 
— равнобедренный 
откуда
А поскольку
то
При 
левая часть последнего равенства равна 
что позволяет найти
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
