Пирамиды с общим трёхгранным углом и/или высотой
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ребро основания правильной треугольной пирамиды равно 
, высота пирамиды равна 
. Плоскость 
перпендикулярна одному из
рёбер пирамиды и делит его в отношении 
, считая от вершины. Найдите отношение, в котором плоскость 
делит объём
пирамиды.
Источники:
Подсказка 1
Пусть SABC — данная пирамида, плоскость π будем строить перпендикулярно ребру SA. Что можно сказать о рёбрах SA и BC? Какой вывод из этого можно сделать относительно π и ВС?
Подсказка 2
π || BC, что тогда можно сказать о пересечении плоскостей π и (SBC)? Достройте сечение, пользуясь тем, что SA ⊥ π, а значит и любой прямой, находящейся в этой плоскости
Подсказка 3
Чтобы найти отношение объёмов исходной пирамиды и пирамиды, отсечённой плоскостью π, удобно взять за основание треугольники △BSC и треугольник, отсекаемый плоскостью π при пересечении с гранью SBC.
Обозначим через 
вершины пирамиды, так что 
— ее основание, а плоскость 
перпендикулярна ребру
.
Поскольку 
и 
, имеем 
. Стало быть, 
пересекает плоскость 
по прямой, параллельной 
, и делит
ребра 
и 
(или их продолжения) в одинаковом отношении. Найдем это отношение.
Обозначим через 
основание высоты пирамиды и через 
— середину ребра 
. Тогда
Пусть 
— точка пересечения 
и 
— точка пересечения 
с прямой 
— точка пересечения прямых 
и 
. Тогда
, причем 
Из подобия треугольников 
и 
получаем:
откуда
Итак, 
— середина 
. Обозначим через 
середину 
. Тогда 
, откуда 
, ибо 
.
Таким образом, плоскость 
проходит через середины ребер 
и 
. Следовательно, 
отсекает от пирамиды 
пирамиду,
объем которой равен
То есть 
делит объем исходной пирамиды в отношении 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
