Пирамиды с общим трёхгранным углом и/или высотой

Запишем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Пусть . Тогда

Подставив найденные значения отношений, получим систему

которая легко решается: . Пишем теорему Менелая для треугольника и прямой :

А теперь - теорему Менелая для треугольника и прямой :

Перемножим равенства (3) и (4):

Соотношение , данное в условии, можно переписать в виде .

Пусть . Тогда

Подставляя в (5) найденные значения отношений, получаем систему

из которой находим, что . Итак, и . Тогда . Подставив это значение в (4), найдем, что и .

Записываем теорему Менелая для треугольника и секущей :

Последний (шестой!) раз применяем теорему Менелая для треугольника и секущей .

По свойству отношения объёмов пирамид с общей вершиной

Аналогичным образом получаем

И, наконец,

Объем оставшейся части равен, очевидно, .