Ортогональные проекции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из вершины 
на плоскость основания 
пирамиды 
опущена высота 
. Найдите объем этой пирамиды, если известно, что
площади треугольников 
равны соответственно 
, и что все три плоских угла при вершине 
прямые.
Источники:
Подсказка 1
У нас на картинке очень много прямых углов и даны площади, поэтому хочется попользоваться формулой площади проекции. Посмотрим: △BHC- ортогональная проекция треугольника △BDC, а треугольник △BDC, в свою очередь- ортогональная проекция треугольника △BAC. Какими тогда формулами связаны площади этих треугольников?
Подсказка 2
Выписав соотношения этих площадей через косинус двугранного угла, нетрудно увидеть, что S²(△BDC)= S(△BAC)*S(△BHC). Учитывая, что S(△BAC) = 1, получаем: S(△BDC) = √S(△BHC). Абсолютно аналогично для остальных граней. Как думаете, сможем ли мы, зная площади боковых граней, найти объем тетраэдра?
Подсказка 3
Кончено сможем! V = 1/6 * AD*CD*BD. Учитывая, что боковые грани- прямоугольные треугольники, выразите их площади через катеты и преобразуйте предыдущее выражение. Я в вас верю!
Обозначим через 
двугранные углы при ребрах 
соответственно. Поскольку 
является
ортогональной проекцией 
.
Следовательно, 
. С другой стороны, 
, то есть 
является ортогональной проекцией 
,
откуда
Учитывая, что 
, получаем
Аналогично,
Далее, поскольку плоские углы при вершине 
прямые,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
