Случаи расположения точек

Введём декартову систему координат с центром в точке , ось абсцисс — луч , ось ординат — луч , ось аппликат — луч .

Пусть — проекция центра сферы на грань куба. Определим ее местоположение. Так как сфера касается прямых и проходит через точку , то расстояние от точки до прямых и и точки одинаково (обозначим его ). Тогда лежит на луче , который является биссектрисой угла . Осталось учесть условие, что центр сферы касается прямой , то есть нужно проверить, что расстояние от центра до прямой совпадает с радиусом сферы .

Заметим, что есть два случая расположения точки (на рисунке показаны разными цветами):

Случай 1: точка лежит на диагонали .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус

Случай 2: точка лежит на продолжении луча .

Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника получим: , откуда . Значит, центр сферы в этом случае имеет координаты .

Расстояние до прямой равно . То есть радиус