Введение целевой функции

Пусть — ребро куба. Рассмотрим множество точек, которому могут принадлежать центры сфер.

Так как каждая сфера касается минимум двух граней куба, тогда центры сфер принадлежат рёбрам куба с ребром , центр которого совпадает с центром исходного куба и грани которого параллельны соответствующим граням исходного куба и находятся на расстоянии от них.

Поскольку сферы попарно касаются друг друга, центры сфер образуют правильный треугольник со стороной . При этом каждой грани куба касается какая-то сфера, поэтому рёбра, на которых лежат центры сфер, в совокупности являются границами всех шести граней куба с ребром .

Введём систему координат с началом в вершине исходного куба и расположим вершины правильного треугольника так, чтобы они находились в трёх скрещивающихся рёбрах меньшего куба, а также находились на расстоянии от некоторых трёх граней исходного куба. Тогда координаты вершин правильного треугольника имеют вид , где , то есть . Нетрудно проверить, что стороны треугольника одинаковы и равны

откуда получаем уравнение, квадратное относительно , имеющее корни:

Так как радиус не может быть больше , и тем более больше , тогда знак невозможен.

Поскольку функция монотонно возрастает, тогда наименьшее значение будет при . В этом случае получим .

Наибольшее значение будет при наибольшем значении . На отрезке функция принимает одинаковое наибольшее значения в точках . Тогда наибольшее значение можно найти из уравнения при . Получим . Так как радиус не может быть больше , тогда знак невозможен.

Заметим, что во втором случае все три сферы касаются трёх граней куба, поэтому радиус сферы больше, чем , быть не может (иначе сферы выйдут за границу куба). А в первом случае центр равностороннего треугольника, образованного центрами трёх сфер, находится в центре исходного куба, поэтому радиус сферы меньше, чем , тоже быть не может.

Наконец, поскольку функция непрерывна на отрезке , то радиус сфер принимает значения на отрезке .

Подставим , тогда получим неравенство . Заметим, что и . Таким образом, единственное возможное натуральное значение — .