Введение целевой функции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В куб с ребром 
вписаны три сферы одинакового радиуса 
так, что сферы попарно касаются друг друга, каждой грани куба
касается какая-то сфера и каждая сфера касается как минимум двух граней куба. Найти возможные значения радиуса 
, если известно,
что 
— натуральное число.
Источники:
Подсказка 1
Есть одна точка, с помощью которой можно описать положение сферы в пространстве – это центр. Подумайте, как выглядит множество точек, в которых могут находиться центры сфер. В вам поможет тот факт, что каждая сфера касается хотя бы двух граней.
Подсказка 2
Центры всех трех сфер могут лежать только на ребрах куба, центр которого совпадает с центром исходного, а длина ребра равна a – 2r. Рассуждать про задачу в пространстве достаточно неудобно, хотелось бы получить какую-нибудь явную функцию, описывающую r, и исследовать ее значения. Подумайте, как её получить, пользуясь тем, что мы знаем, где находятся центры сфер.
Подсказка 3
Все три сферы касаются друг друга, значит, их центры образуют равносторонний треугольник со стороной 2r. Попробуйте посчитать длину стороны этого треугольника как расстояние между двумя центрами.
Подсказка 4
Давайте введем систему координат с началом в вершине куба из условия, а центры сфер расположим так, чтобы они находились на расстоянии x от каких-то трех граней куба, тогда их координаты будут (x, r, r) (r, a – x, a - x) и (a-r, x, a-r). При этом важно отметить, что r ≤ x ≤ a – r. Отсюда мы легко находим расстояние между центрами и, приравняв его к 2r, получаем квадратное уравнение относительно 2r.
Подсказка 5
Из уравнения мы получили, что r = (3a ± √(5a² - 4x² + 4ax)) / 2. Знак + точно не может быть перед корнем, так как радиус не может быть больше, чем сторона куба. Значит, нам нужно исследовать на наибольшее и наименьшее значение данную функцию относительно x, но с минусом.
Подсказка 6
Выделим под корнем полный квадрат и получим r = 3a/2 + √(3a²/2 – (x - a/2)²). Как можно заметить, значение нашего радиуса будет зависеть от (x - a/2)², когда выражение принимает свое наименьшее значение, то радиус будет наибольшим, а когда выражение принимает наибольшее значение, то радиус – наименьший. Остается только найти эти наибольшее и наименьшее значения. Не забудьте, что x находится в каких-то границах.
Пусть 
— ребро куба. Рассмотрим множество точек, которому могут принадлежать центры сфер.
Так как каждая сфера касается минимум двух граней куба, тогда центры сфер принадлежат рёбрам куба с ребром 
, центр
которого совпадает с центром исходного куба и грани которого параллельны соответствующим граням исходного куба и находятся на
расстоянии 
от них.
Поскольку сферы попарно касаются друг друга, центры сфер образуют правильный треугольник со стороной 
. При этом каждой
грани куба касается какая-то сфера, поэтому рёбра, на которых лежат центры сфер, в совокупности являются границами всех шести граней
куба с ребром 
.
Введём систему координат с началом в вершине исходного куба и расположим вершины правильного треугольника так, чтобы они
находились в трёх скрещивающихся рёбрах меньшего куба, а также находились на расстоянии 
от некоторых трёх граней исходного куба.
Тогда координаты вершин правильного треугольника имеют вид 
, где 
, то есть
![x ∈[r;a− r]](/api/latex-service/v1/GetSession/175856/index-ec6263540bb87b7c9c69b70f9f72a749.svg)
. Нетрудно проверить, что стороны треугольника одинаковы и равны
откуда получаем уравнение, квадратное относительно 
, имеющее корни:
Так как радиус 
не может быть больше 
, и тем более больше 
, тогда знак 
невозможен.
Поскольку функция 
монотонно возрастает, тогда наименьшее значение 
будет при 
. В этом случае получим
.
Наибольшее значение 
будет при наибольшем значении 
. На отрезке ![[r;a− r]](/api/latex-service/v1/GetSession/175856/index-8ad61e4b8d5fc88a71c6d1fd0a5459c4.svg)
функция принимает одинаковое наибольшее
значения в точках 
. Тогда наибольшее значение 
можно найти из уравнения 
при 
. Получим
. Так как радиус 
не может быть больше 
, тогда знак 
невозможен.
Заметим, что во втором случае все три сферы касаются трёх граней куба, поэтому радиус сферы больше, чем 
, быть не
может (иначе сферы выйдут за границу куба). А в первом случае центр равностороннего треугольника, образованного
центрами трёх сфер, находится в центре исходного куба, поэтому радиус сферы меньше, чем 
, тоже быть не
может.
Наконец, поскольку функция 
непрерывна на отрезке ![x ∈[r;a− r]](/api/latex-service/v1/GetSession/175856/index-930e6091ee2beaf9f2a8f762aa7c05f0.svg)
, то радиус сфер 
принимает значения на
отрезке ![3−√6 2− √2
[--2-a;-2--a]](/api/latex-service/v1/GetSession/175856/index-8997f09c78ed804dd5861d1f56e961d3.svg)
.
Подставим 
, тогда получим неравенство 
. Заметим, что 
и 
.
Таким образом, единственное возможное натуральное значение — 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
