Введение целевой функции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два куба с ребром 
имеют общую грань. Сечение одного из этих кубов некоторой плоскостью — треугольник площади 
Сечение
другого той же плоскостью — четырёхугольник. Какое наибольшее значение может принимать его площадь?
Источники:
Подсказка 1
Если вы правильно построили сечение, то плоскость должно пересекать кубы по треугольнику (будем его называть большим), на первый куб приходится треугольник (будем его называть маленьким), а на второй — трапеция. Притом площадь маленького треугольника фиксирована. Значит, максимизация площади трапеция равносильна максимизации площади большого треугольника, или же максимизации коэффициента подобия большого треугольника к маленькому.
Подсказка 2
Попробуйте выразить этот коэффициент с помощью теоремы Фалеса через некоторые отрезки, чтобы большинство отрезков были фиксированной длины. Тогда вы поймёте, какие отрезки нужно максимизировать или минимизировать.
Подсказка 3
Пусть есть треугольник, вершины которого расположены на трёх рёбрах куба на расстояниях x, y, z от вершины. Попробуйте записать его площадь в виде какого-то не очень сложного выражения от x, y, z, используя формулу Герона.
Подсказка 4
Если вы правильно исследовали коэффициент подобия и получили правильное выражение площади KPQ, то вы понимаете, что одну из переменных нужно минимизировать, а две остальные — максимизировать. Значит, две переменные будут равны ребру. Попробуйте выразить третью через длину ребра и коэффициент подобия, о котором говорили выше. И поставьте полученные выражения в формулу площади.
Пусть наши кубы — это 
и 
с общей гранью 
. Пусть также треугольное сечение первого куба —
это 
, где точка 
лежит на 
, точка 
на 
, а точка 
— на 
. Одна из сторон четырёхугольного сечения второго
куба — отрезок 
. Две другие — продолжения отрезков 
и 
на грани второго куба, назовём эти отрезки 
и 
. Чтобы
сечение было четырёхугольным, точки 
и 
должны находиться на одной грани второго куба, а это может быть только грань
.
Значит, четырёхугольное сечение второго куба — это трапеция 
. Нахождение её наибольшей площади равносильно нахождение
наибольшей площади треугольника 
, который подобен треугольнику 
. Обозначим этот коэффициент подобия
. Тогда 
. То есть наша задача равносильна задаче о нахождении максимального коэффициента
подобия.
С другой стороны, по теореме Фалеса 
. То есть коэффициент подобия тем больше, чем меньше
, а значит, наша задача — минимизировать 
, или, что то же самое, минимизировать 
.
Пусть у нас есть треугольник, вершины которого расположены на трёх рёбрах куба, выходящих из одной точки, на
расстояниях 
и 
. Найдём формулу площади этого треугольника. Это можно делать по-разному, например, через
векторное произведение, или посчитав двумя способами площадь тетраэдра, образованного вершинами треугольника и
вершиной куба, но мы вычислим эту площадь по формуле Герона, зная стороны треугольника: 
и
.
Посмотрим на эту формулу для треугольника 
и отрезков 
. С одной стороны, нам надо
минимизировать 
, а с другой - максимизировать площадь. Очевидно, для этого 
и 
должны быть максимальны, то есть равны ребру
.
Как мы знаем, 
, то есть 
, откуда
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
Соответственно,
откуда
Правая часть этого равенства убывает при 
, а значит, данное уравнение на 
имеет не больше одного решения. Конкретное
решение в большинстве вариантов легко подбирается из этого равенства, так как оно целочисленное.
При 
мы получаем уравнение
откуда сразу возникает желание проверить 
, что оказывается верным.
Ответ получается как разность площадей двух треугольников и равен 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
