Уравнения различных ГМТ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку 
провести плоскость, перпендикулярную к плоскости 
и образующую с плоскостью
угол 
.
Подсказка 1
Пускай уравнение нашей плоскости это Kx+My+Nz+L=0. Тогда вектор ее нормали n имеет координаты: n = (K, M, N). Какое условие накладывается на вектор n, если наша плоскость перпендикулярна плоскости 5x-2y+5z-10=0?
Подсказка 2
Верно, скалярное произведение вектора n и вектора v=(5, -2, 5) равно 0. Тогда 5K-2M+5N=0. Надо бы теперь также расписать, какое условие накладывает плоскость x-4y-8z+12=0, но, кажется, все будет не так просто...
Подсказка 3
Угол между векторами n и u=(1, -4, -8) равен π/4. Тогда K-4M-8N=(9/√2)*√(K²+M²+N²). Какое условие мы еще не использовали?
Подсказка 4
Точно, ведь наша плоскость проходит через точку A(1, 2, 3), поэтому K+2M+3N+L=0. Итого у нас три уравнения на 4 неизвестные. Но мы помним, что коэффициенты нам нужны с точностью до пропорциональности, поэтому можно предположить, что L≠0 и положить L=10. Вам осталось лишь решить систему, я в вас верю!
Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид: 
, её нормаль 
, раз она проходит через точку 
, то 
удовлетворяет уравнению плоскости:
Обозначим нормали плоскостей 
и 
за 
и 
соответственно.
Используем тот факт, что синус угла между плоскостями совпадает с синусом угла между их нормалями. Рассмотрим случай, когда углы
между плоскостями совпадают с углами между их нормалями:
 |
Мы получили систему с 
уравнениями и 
неизвестными:
 |
Пусть 
, рассмотрим первые 
уравнения, после их сложения получим:
Подставим в первое уравнение:
Теперь подставим 
и 
в третье уравнение:
Возьмём 
, тогда 
, 
и наша искомая плоскость: 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
