Поиск длин, площадей и объёмов в координатах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В куб 
с ребром 1 вписана сфера. Точка 
расположена на ребре 
, причём 
Из точки
проведена касательная к сфере, пересекающая грань куба 
в точке 
, так, что 
Найти
.
Подсказка 1
Давайте сначала поработаем со сферой, ведь условие на вписанность и на касание может дать много полезной информации о нашей картинке. Можем ли мы что-то сказать про её радиус? А как радиус связан с касательной?
Подсказка 2
Верно, её радиус равен половине ребра, а касательная перпендикулярна радиусу, у нас довольно много информации о треугольнике OFE, более того, EK содержит его катет EF, может мы сможем посчитать всё с помощью треугольника OFE?
Подсказка 3
Давайте сделаем прямоугольную систему координат в точке C₁, потому как она рядом с нашим треугольником, и оси направим вдоль рёбер, наша цель - найти точку F. Не забывайте, что мы много что можем сказать про центр сферы, про скалярное произведение перпендикулярных векторов.
Подсказка 4
Возможно, при решении системы уравнений мы получили несколько решений, но часть может просто не подходить, например, из-за того, что точка F находится вне куба. Мы искали EF, потому что EF || EK, а значит EK = 𝜶 EF, не забудьте, что это условие верно для каждой из координат векторов.
Центр 
сферы, вписанной в куб, является центром куба, а радиус сферы равен половине его ребра, т. е. 
. Поэтому, если 
точка, в
которой прямая 
касается сферы, то 
и 
.
В прямоугольной системе координат 
координаты точек: 
, 
, 
поэтому
Пусть 
тогда 
Из условий 
, 
и 
следует,
что
Отсюда
Но 
, а для точки 
, лежащей на грани 
, поэтому 
, следовательно,
Таким образом,
откуда
Итак
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
