Поиск углов через координаты и векторы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Все рёбра правильной треугольной призмы 
имеют длину 
Точки 
и 
— середины рёбер 
и 
соответственно.
a) Докажите, что прямые 
и 
взаимно перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
Подсказка 1
Мы видим правильную треугольную призму, поэтому удобно было бы ввести прямоугольную систему координат: ось x вдоль луча AB, ось z вдоль AA₁, ось y перпендикулярно x и z в сторону точки C. Какие координаты тогда имеет вектор BM?
Подсказка 2
Верно, BM = (-6, 0, 3)! Надо бы еще найти MN, для этого найдем N: координата по z у нее 6, а вот с x и y надо разобраться. Опустим перпендикуляр NH из N на плоскость ABC. Тогда H- середина стороны AC. Какие тогда координаты имеет точка H?
Подсказка 3
В точку, H = (3/2, 3√3/2, 0)! Тогда N = (3/2, 3√3/2, 6) ⇒ MN = (3/2, 3√3/2, 3). Осталось только проверить, что скалярное произведение BM и MN равно 0. А как мы будем искать угол между плоскостями?
Подсказка 4
Легче всего это сделать через векторы нормали этих плоскостей. Составьте уравнения плоскостей BMN и ABB₁ по трем точкам, чтобы найти векторы нормали, и используйте формулу для косинуса угла между векторами.
Введём прямоугольную декартовую систему координат, как на рисунке: 
— начало координат, ось 
направим вдоль 
, 
в
плоскости 
в сторону 
, 
вдоль 
.
а) Найдём координаты вектора 
:
Найдём координаты вектора 
:
Предварительно найдём координаты точки 
и 
:
Высота в треугольнике 
из вершины 
по т. Пифагора равна 
, а значит 
Найдём их скалярное произведение: 
. что и требовалось доказать
б) Составим уравнение плоскостей:
 |
Пусть 
, тогда, решая систему, получим: 
, за вектор нормали к этой плоскости возьмём
.
 |
Пусть 
, тогда 
его и возьмём за вектор к плоскости 
.
Угол между плоскостями: 
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
