Квадратные трёхчлены на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В множестве 
выбрали подмножество 
Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого
принадлежат 
не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в 
Источники:
Подсказка 1
Пусть p, q ∈ A. Попробуйте рассмотреть какой-нибудь многочлен, который даст нам информацию на p и q, учитывая, что он не должен иметь действительных корней.
Подсказка 2
Давайте рассмотрим многочлен px² + qx + p. Что можно сказать про p и q?
Подсказка 3
Верно, p и q отличаются меньше, чем в два раза, иначе дискриминант неотрицательный. Попробуйте доказать, что если любые два элемента множества отличаются меньше, чем в два раза, то оно удовлетворяет условию про действительные корни.
Подсказка 4
Для этого попробуйте написать, чему максимум может быть равен дискриминант через M и m, где M и m — максимальный и минимальный элемент этого множества.
Подсказка 5
Максимальный дискриминант равен M² - 4m², а это меньше 0. Какое количество элементов максимум может быть в множестве, которое удовлетворяет условию, что любые два его элемента отличаются меньше чем в два раза, и оно является подмножеством множества {1, 2 ..., 2014}.
Подсказка 6
Правильно, 1007! Осталось привести пример.
Если 
и 
то дискриминант трехчлена 
неотрицательный, значит, у него есть корни. Таким образом, множество
не содержит чисел, отличающихся хотя бы вдвое.
Покажем, что если в 
отношение любых двух чисел меньше 
то все трехчлены с коэффициентами из 
не имеют корней. Пусть
— наибольшее из чисел в 
а 
— наименьшее. Тогда дискриминант трехчлена с коэффициентами из 
не больше
Очевидно, что максимальное подмножество 
в котором отношение любых двух чисел меньше 
имеет мощность 
Подходит, например, 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
