Школьный 10 - 11 класс

Покажем, что найдутся 3 подряд идущих числа, среди которых есть по крайней мере 2 чётных. Это можно сделать, например, так. Рассмотрим 15 подряд идущих чисел. Они разбиваются на 3 пятёрки подряд идущих чисел, значит, среди них есть по крайней мере 6 чётных. Но эти 15 чисел можно разбить на 5 троек подряд идущих чисел. Значит, по принципу Дирихле в какой-то тройке есть хотя бы 2 чётных числа.

Зафиксируем эти 3 числа. Среди них есть хотя бы 2 чётных. Остальные 100 разобьем на 20 пятёрок подряд идущих. В каждой такой пятёрке будет не менее двух чётных чисел. Таким образом, общее количество чётных чисел не менее . Такая ситуация возможна. Пронумеруем числа по кругу. И чётными можно взять числа с номерами . (Возможны и другие примеры.)