Тема 6. Решение уравнений

6.07 Логарифмические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17254

Найдите корень уравнения $log2(15+ x)= log23.$

Показать ответ и решение

({ log2(15+ x)= log23 ⇔ 15+ x= 3 ⇔ x = −12 ( 15+ x> 0

Ответ: -12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#17255

Найдите корень уравнения $log4(x+ 3)= log4(4x − 15).$

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#18122

Найдите корень уравнения $log3(15− x)= log37.$

Показать ответ и решение

По свойствам логарифма имеем:

log3(15− x)= log37 15 − x = 7 x = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18542

Найти корень уравнения $log0,5(x+ 5)= log2 0,2.$

Показать ответ и решение

По свойствам логарифма преобразуем обе части уравнения:

$pict$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#121

Найдите корень уравнения

log2(x+ 6) = 5

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x+ 6 > 0,$ что равносильно $x > − 6.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log2(x+ 6)$ – показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить $x+ 6,$ откуда заключаем: $5 2 = x+ 6,$ что равносильно $x = 26$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#122

Найдите корень уравнения

log3(x− 4) = log34

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x− 4 > 0,$ что равносильно $x > 4.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log3(x− 4)$ – показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить $x− 4,$ откуда заключаем: $log3(4) 3 = x− 4,$ что равносильно $4 = x − 4,$ что равносильно $x = 8$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#123

Найдите корень уравнения

log7(3x − 1) = log7 2

Показать ответ и решение

ОДЗ: $3x − 1 > 0,$ что равносильно $1 x > 3.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log7(3x− 1)$ – показатель степени, в которую нужно возвести 7, чтобы получить $3x− 1,$ откуда заключаем: $log7(2) 7 = 3x− 1,$ что равносильно $2 = 3x − 1,$ что равносильно $x = 1$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#124

Найдите корень уравнения

log8(9x − 18) = log8 36

Показать ответ и решение

ОДЗ: $9x − 18 > 0,$ что равносильно $x > 2.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log8(9x− 18)$ – показатель степени, в которую нужно возвести 8, чтобы получить $9x − 18,$ откуда заключаем: $log8(36) 8 = 9x − 18,$ что равносильно $36 = 9x − 18,$ что равносильно $x = 6$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126

Найдите корень уравнения $log1(4x+ 1)= −3. 3$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $4x+ 1> 0,$ что равносильно $x > − 1. 4$

По определению логарифма имеем, что $log1(4x+ 1) 3$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $1, 3$ чтобы получить $4x +1.$ Отсюда получаем

( )−3 1 = 4x + 1 3 33 =4x +1 x =6,5

Найденное значение $x$ подходит по ОДЗ.

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#127

Найдите корень уравнения $log2(x +12)= −2. 7$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x +12 >0,$ что равносильно $x> −12.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log27(x+ 12)$ – показатель степени, в которую нужно возвести $27,$ чтобы получить $x + 12,$ откуда заключаем:

(2 )−2 7 = x +12 ⇔ 3,52 = x+ 12 ⇔ x= 0,25

– подходит по ОДЗ.

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#128

Найдите корень уравнения

log√12(2+ 2x) = − 4

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2+ 2x > 0,$ что равносильно $x > − 1.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log√12(2+ 2x)$ – показатель степени, в которую нужно возвести $1√-- 2,$ чтобы получить $2 + 2x,$ откуда заключаем:

( ) −4 √ - √1- = 2 + 2x ⇔ ( 2)4 = 2+ 2x ⇔ 4 = 2 + 2x ⇔ x = 1 2

– подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130

Найдите корень уравнения $log7(5− 3x)= 3log72.$

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

log (5 − 3x)= 3log 2 7 73 log7(5− 3x) = log72 5 − 3x = 8> 0 3x= − 3 x = −1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#132

Найдите корень уравнения

2016 2016 log2016(3,14x + 7− 2x) = log2016(3,14x + 6− 3x)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2016 3,14x + 7− 2x > 0$ и $2016 3,14x +6 − 3x > 0.$ Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $2016 2016 3,14x + 7 − 2x = 3,14x +6 − 3x,$ что равносильно $7 − 2x = 6− 3x,$ откуда $x = − 1$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#133

Найдите корень уравнения $log3(2x+ 1)= log3(3 − x) +1.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x + 1 > 0$ и $3− x > 0,$ что равносильно $− 0,5 < x < 3.$ Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно $log3(2x + 1) = log3(3− x)+ log33,$ что равносильно $log3(2x+ 1) = log3((3 − x )⋅3).$

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $2x + 1 = 9 − 3x,$ что равносильно $x = 1,6$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#134

Найдите корень уравнения $log (15x + 25) =log (x − 25)+ 2. 5 5$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $15x + 25 > 0$ и $x− 25 > 0,$ что равносильно $x > 25.$ Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно $log5(15x +25) = log5(x− 25)+ log525,$ что равносильно $log5(15x + 25) = log5((x− 25)⋅25).$

Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно $15x + 25 = 25x − 625,$ откуда $x = 65$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1002

Найдите корень уравнения $log (10+ 2x)= 3. 4$

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $10 +2x > 0.$ Решим на ОДЗ:

3 log4(10 + 2x) = log44 ⇔ 10 + 2x = 64 ⇔ x = 27

Полученное число удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 27

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1222

Найдите корень уравнения $log (2x− 5)= −2. 0,5$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ уравнения: $2x − 5> 0.$ На ОДЗ уравнение равносильно

−2 2x − 5 = (0,5) ⇔ 2x − 5 = 4

Это равенство удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, получаем

x = 9= 4,5 2

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1278

Найдите корень уравнения

log11(16+ x) = log1112

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $16 +x > 0.$ Решим уравнение на ОДЗ.

Оно равносильно $16+ x = 12.$ Тогда $x = − 4$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1466

Найдите корень уравнения

log12(2x − 10) = 1

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x − 10 > 0,$ что равносильно $x > 5.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log12(2x − 10)$ – показатель степени, в которую нужно возвести 12, чтобы получить $2x − 10,$ откуда заключаем: $1 12 = 2x − 10,$ что равносильно $x = 11$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1467

Найдите корень уравнения

log5(− x) = log54

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x > 0,$ что равносильно $x < 0.$ Решим на ОДЗ:

По определению логарифма $log5(− x)$ – показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить $− x,$ откуда заключаем: $log5(4) 5 = − x,$ что равносильно $4 = − x,$ что равносильно $x = − 4$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4