Многочлены на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли такой многочлен 
с целыми коэффициентами и натуральные числа 
и 
что 
не делится на 
но 
делится на 
для любого простого числа 
и любого натурального 
Источники:
Подсказка 1
Если искомое существует, то нам нужно привести пример такого многочлена и чисел m и n и доказать для них выполнение условий. То есть, доказать, что значение многочлена в любой степени любого простого числа кратно n, и при этом существует значение, в котором многочлен не кратен n. Но сразу сказать про все простые числа сложно.. Давайте подумаем только про двойку! Каким должен быть многочлен и число n, чтобы его значение в любой степени двойки было кратно n?
Подсказка 2
Например, n может быть равно степени двойки! Пусть n это 2 в k-ой степени. А многочлен состоять из множителей вида (x-p). Подумайте, сколько должно быть таких скобочек с чётными и нечётными p, чтобы многочлен делился на степень двойки.
Подсказка 3
Верно, скобочек с нечетным p должно быть не меньше k! Аналогично для чётных, чтобы для в любой степени любого нечётного простого числа многочлен делился на 2 в k-ой степени. Теперь осталось поподбирать значения и найти подходящий пример! Не забудьте, что надо так же найти m!
Первое решение. Приведём несколько примеров таких многочленов. 1) Пусть
Проверим, что 
не делится на 
Действительно, 
не делится на 
Теперь проверим, что 
делится на 
для любого простого числа 
и любого натурального 
Если 
или 
то многочлен тождественно равен 
Для 
где 
имеем
Наконец, если простое число 
нечётно (а значит, и 
нечётно), то 
делится на 
так как при любом нечётном 
значение 
делится на 
а значит, и на 
2) Пусть
Сначала проверим, что 
делится на 
при всех простых 
и натуральных 
Начнём со случая 
Заметим, что первое слагаемое делится на 
а значит, и на 
Остаётся проверить, что 
делится
на 
для чисел вида 
где 
При 
и 
это проверяется непосредственно; при 
число 
также делится
на 
Теперь проверим утверждение для простых чисел 
В этом случае 
взаимно просто с 
а значит, достаточно доказать
утверждение 
кратно 
при любом 
взаимно простом с 
Для этого заметим, что при всех таких 
по теореме Эйлера
выполняется соотношение 
а тогда 
Остаётся проверить, что 
не делится на 
Для этого снова заметим, что число 
делится на 
а число 
не
делится на 
Второе решение.
Пусть 
— простое, 
и пусть 
— все не кратные 
натуральные числа, меньшие 
Положим
Действительно, тогда 
не кратно 
При 
число 
имеет остаток от деления на 
не кратный 
поэтому один из множителей в определении 
будет кратен 
при 
При 
и 
уже число 
будет кратно 
Наконец, при 
значение 
делится на 
Существует
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
