Многочлены на ММО

Если многочлен имеет корней на интервале то значение их произведения, по теореме Виета равное свободному члену, также будет лежать на интервале что противоречит условию, что все коэффициенты многочлена — целые. Таким образом, многочлен имеет не более корней на интервале

Покажем теперь, как построить многочлен, удовлетворяющий условию задачи и имеющий ровно корень на интервале Будем считать, что Рассмотрим многочлен Это многочлен степени с целыми коэффициентами и свободным членом, равным 1 (его коэффициенты — это коэффициенты многочлена выстроенные в обратном порядке). Каждому корню многочлена лежащему на интервале соответствует корень многочлена лежащий на луче Верно и обратное: каждому корню многочлена , лежащему на луче соответствует корень многочлена который лежит на интервале

Рассмотрим многочлен

Поскольку

в рассмотренных точках многочлен принимает значения чередующихся знаков, поэтому он имеет корень на луче Эти корни расположены на интервалах Следовательно, соответствующий построенному многочлену многочлен имеет ровно корень на интервале