Многочлены на ММО

(а) Для многочлена имеем

(b) Первое решение. Из условия следует, что многочлен раскладывается на линейные множители. Пусть

Тогда корнями многочлена являются числа При этом многочлен

также должен раскладываться на линейные множители, поэтому Множество его корней должно совпадать с множеством корней многочлена Пусть — наибольшее из чисел т. е. наибольший из корней многочлена Тогда число является наибольшим из корней многочлена Но так как Следовательно, совпадение множеств корней многочленов и невозможно.

Второе решение. Если такой многочлен существует, то он имеет хотя бы один действительный корень. Пусть — наибольший из его корней. Тогда из условия получаем, что

то есть число также является корнем многочлена Но что противоречит максимальности корня Следовательно, такого многочлена не существует.