Многочлены на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
и такой многочлен 
степени 
имеющий 
различных действительных корней, что при всех
действительных 
выполнено равенство
Пункт а, Подсказка 1
В конструктивах всегда полезно потратить хотя бы 5 минут на поиск примера.
Пункт а, Подсказка 2
Пусть P(a)=0, тогда равенство выполняется, значит x=0 — корень нашего многочлена. Проделайте что-то похожее с выражением P(x+1).
Пункт б, Подсказка 1
Давайте также как в пункте (a) предположим существование такого x₀, что P(x₀)=0. Что можно сказать про P(x₀²+1)?
Пункт б, Подсказка 2
P(x₀²+1)=0. Подумайте: что может пойти не так?
Пункт б, Подсказка 3
Поисследуйте максимальный элемент во множестве корней многочлена P.
Пункт б, Подсказка 4
Предположите что x₀ — наибольший по значению корень многочлена, что можно сказать про x₀²+1?
(а) Для многочлена 
имеем
(b) Первое решение. Из условия следует, что многочлен 
раскладывается на линейные множители. Пусть
Тогда корнями многочлена 
являются числа 
При этом многочлен
также должен раскладываться на линейные множители, поэтому 
Множество его корней 
должно совпадать с множеством корней многочлена 
Пусть 
— наибольшее из чисел 
т. е. наибольший
из корней многочлена 
Тогда число 
является наибольшим из корней многочлена 
Но
так как 
Следовательно, совпадение множеств корней многочленов 
и 
невозможно.
Второе решение. Если такой многочлен 
существует, то он имеет хотя бы один действительный корень. Пусть 
— наибольший
из его корней. Тогда из условия получаем, что
то есть число 
также является корнем многочлена 
Но 
что противоречит максимальности корня 
Следовательно, такого многочлена не существует.
Существует
Не существует
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
