Тема . ММО (Московская математическая олимпиада)

Многочлены на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79751

Про приведенный многочлен P(x)= xn+ a  xn−1+ ...+ ax +a
           n− 1          1   0  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном m > 2  многочлен P(P (...P(P (x)...))  имеет действительные корни, причем только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x)  имеет действительные корни, причем только положительные?

Показать ответ и решение

Для любого натурального k >2  положим P (x)=P (P(...P(P(x)...))
 k  (k  итераций). По условию задачи P  (x)
 m  имеет действительные корни, причем только положительные. Покажем, что P (x)  имеет действительные корни, причем только положительные.

Предположим, что P(x)  не имеет положительных корней. Тогда        n      n−1
P (x)= x + an− 1x   + ...+ a0 > 0  при достаточно больших x  и не меняет знак при x> 0,  т. е. P  переводит положительные числа в положительные. Значит, тем же свойством обладают все многочлены Pk.  Это противоречит тому, что у Pm (x)  есть положительные корни. Поэтому многочлен P(x)  также имеет положительные корни.

Если P(0)= 0,  то Pm (0)= 0.  Значит, ноль не является корнем многочлена P(x).

Предположим, что у P (x)  есть и отрицательный, и положительный корни. Докажем методом математической индукции, что тогда при всех натуральных k  многочлен Pk(x)  также имеет и отрицательный, и положительный корни.

При k= 1  утверждение верно. Предположим, что оно верно при некотором k= j.  Обозначим через x1  и x2  соответственно наименьший и наибольший корни многочлена P(x),  а через x3  и x4  соответственно наименьший и наибольший корни многочлена Pj(x).  Тогда x1 < 0,x2 >0,x3 < 0,x4 >0.

Если число n  нечетно, многочлен P(x)= xn +an−1xn−1+ ...+ a1x +a0  принимает все значения от − ∞ до 0  на луче (∞,x1].  Значит, на этом луче найдется такое число x5,  что P(x5) =x3.

Если число n  четно, многочлен P (x)= xn+ an−1xn−1 +...+ a1x+ a0  принимает все значения от 0  до + ∞ на луче (−∞, x1].  Значит, на этом луче найдется такое число x5,  что P(x5)= x4.  В обоих случаях многочлен P(x)= xn +an−1xn−1+ ...+ a1x +a0  принимает все значения от 0  до + ∞ на луче [x2,+∞ ).  Значит, на этом луче найдется такое число x6,  что P (x6)= x4.  Следовательно, в обоих случаях Pj+1(x5)=Pj(P(x5))= 0  и Pj+1(x6)=Pj(P(x6))= 0.  При этом x5 < 0  и x6 > 0.  Утверждение доказано.

Значит, если у P(x)  есть и отрицательный, и положительный корни, то у Pm(x)  есть и отрицательный, и положительный корни. Пришли к противоречию.

Остается единственная возможность: многочлен P(x)  имеет действительные корни, причем только положительные.

Ответ:

Да

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!