Многочлены на ММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Про приведенный многочлен с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном многочлен имеет действительные корни, причем только положительные. Обязательно ли сам многочлен имеет действительные корни, причем только положительные?
Для любого натурального положим ( итераций). По условию задачи имеет действительные корни, причем только положительные. Покажем, что имеет действительные корни, причем только положительные.
Предположим, что не имеет положительных корней. Тогда при достаточно больших и не меняет знак при т. е. переводит положительные числа в положительные. Значит, тем же свойством обладают все многочлены Это противоречит тому, что у есть положительные корни. Поэтому многочлен также имеет положительные корни.
Если то Значит, ноль не является корнем многочлена
Предположим, что у есть и отрицательный, и положительный корни. Докажем методом математической индукции, что тогда при всех натуральных многочлен также имеет и отрицательный, и положительный корни.
При утверждение верно. Предположим, что оно верно при некотором Обозначим через и соответственно наименьший и наибольший корни многочлена а через и соответственно наименьший и наибольший корни многочлена Тогда
Если число нечетно, многочлен принимает все значения от до на луче Значит, на этом луче найдется такое число что
Если число четно, многочлен принимает все значения от до на луче Значит, на этом луче найдется такое число что В обоих случаях многочлен принимает все значения от до на луче Значит, на этом луче найдется такое число что Следовательно, в обоих случаях и При этом и Утверждение доказано.
Значит, если у есть и отрицательный, и положительный корни, то у есть и отрицательный, и положительный корни. Пришли к противоречию.
Остается единственная возможность: многочлен имеет действительные корни, причем только положительные.
Да
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!