Многочлены на ММО

Пусть данный в условии многочлен с ненулевыми коэффициентами:

По условию — корень этого многочлена, где . И тогда:

Тогда делится на все остальные коэффициенты многочлена , а значит . Следовательно, достаточно проверить, что .

Докажем это по индукции по степени многочлена .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База индукции:

При (чего не могло быть по условию). При

И тогда , а , откуда .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход индукции.

Так как и , имеем . Тогда делится на . Как показано выше делится на . Значит, делится на , что возможно только при

Если , то , и утверждение доказано.

Если , то преобразуем выражение дальше:

Опять-таки получаем, что

Тогда , что возможно только если . В случае если , то мы пришли к выражению вида

где , имеющее тот же вид, что и , но степени на меньшей. Из предположения индукции отсюда следует, что .

Если же , то домножим равенство на (эта операция не влияет на делимости коэффициентов и получим:

Для которого снова применимо предположение индукции, а значит .