Задачи на исследование квадратичной функции

Пусть уравнение нашей параболы

Заметим, что на отрезке минимальное значение не может достигаться в точке 2, так как в противном случае на отрезке минимальным значением было бы число 6, что противоречит условию задачи. Таким образом, минимальное значение на отрезке либо в точке 1, либо внутри интервала , что соответствует вершине параболы.

Рассмотрим случай, когда минимальное значение на отрезке достигается в вершине параболы, назовем эту точку Ясно, что в этом случае в точке будет достигаться либо максимальное, либо минимальное значение параболы что невозможно, так как по условию задачи существуют такие точки , что и Таким образом получаем, что Заметим также, что на отрезке парабола не может убывать, так как в таком случае ее минимум достигался бы в точке 2. Следовательно, возрастает при

Рассмотрим случай, когда точка вершины параболы тогда Так как при парабола возрастает, то минимальное значение на отрезке достигается в точке 2 и равно Если вершина параболы лежит вне отрезка , то получаем, что откуда однозначно определяем параболу что противоречит заданному условию Если вершина параболы лежит внутри отрезка Тогда, при изменении аргумента , значение параболы изменяется на 3, при этом что невозможно.

Теперь рассмотрим случай, когда отсюда Так как парабола возрастает на отрезке то получаем тогда минимум на отрезке будет достигаться на одном из его концов, то есть либо либо Первый случай мы уже рассматривали, получив здесь такая парабола тоже не подходит, так как что противоречит условию. Решая систему для второго случая, получим Осталось проверить, что такая парабола действительно подходит. В самом деле, вершина параболы принадлежит отрезку причем минимальное значение на этом отрезке равно а на отрезках и парабола возрастает, принимая минимальный значения в и соответственно.