Задачи на исследование квадратичной функции

Пусть и — концы отрезка, причем и . Обозначим через величину угла , где — проекция точки Q на ось абсцисс. Тогда , откуда . Если функция , отображающая интервал в интервал , строго возрастает, то отрезок длины 1 можно переместить так, как это указано в условии задачи.

Имеем . Неравенство преобразуется к виду , а исследование функции показывает, что , причем равенство достигается только при . Это значит, что полуинтервал ( ] принадлежит множеству искомых значений .

С другой стороны, при имеем , функция убывает в окрестности числа и движение отрезка не может удовлетворять всем заданным условиям. Покажем также, что, если , то при движении отрезка обязательно был момент, когда выполнялось равенство . В самом деле: для имеем равенства и, как следствие, соотношения и . А при имеем то есть . Ввиду непрерывности изменения величины и делаем вывод о существовании указанного момента.