Задачи на исследование квадратичной функции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Квадратный трёхчлен меняет местами пару различных чисел 
и 
(т.е. 
и 
). Докажите, что он не меняет местами
никакую другую пару различных чисел.
Источники:
Пусть 
и 
Тогда по условию
и 
(*)
Вычтем из первого равенства второе и сократим на 
получим равенство 
Поэтому сумма любых двух
переставляемых местами чисел равна 
Далее есть два способа доделать задачу.
Способ 1.
С другой стороны, если сложить равенства (*), то получится соотношение
Следовательно,
Таким образом, сумма квадратов любых двух переставляемых местами чисел равна 
Но пара чисел
однозначно определена, если заданы их сумма и сумма квадратов. Действительно, если 
и 
то
и, значит, числа 
и 
являются корнями квадратного уравнения 
Способ 2.
Пусть существует такие 
и 
что 
и 
Тогда квадратное уравнение 
кроме корней 
и 
имеет
также корни 
и 
поскольку 
(теперь вспоминаем начало решения, что сумма любых двух переставляемых чисел зависит
только от коэффициентов исходного квадратного уравнения). Но так как квадратное уравнение может иметь максимум два различных
корня, противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
