Задачи на исследование квадратичной функции

Пусть парабола касается обеих прямых и . Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .

Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Подставим в уравнение параболы значения и : получается выражение

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии .

Заметим, что , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси , а значит, и . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: , откуда . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда . Перенося все слагаемые налево, получаем, что , откуда и . Подставляя в формулу и помня, что , получаем и .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке . Тогда ее уравнение выглядит так: для некоторых чисел и .

Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .

Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы: