Задачи на исследование квадратичной функции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости 
рассматривается угол, образованный прямыми 
и 
, целиком лежащий в полуплоскости
. Среди всех парабол вида 
, вписанных в данный угол, найдите ту параболу, которая принимает наименьшее значение
в точке 
.
Источники:
Внимание
Условие этой задачи можно понимать по-разному:
Подсказка 1 по первому варианту
Вспомним, что означает с точки зрения уравнений, что парабола касается прямой, запишем эти условия в алгебраической форме. Получим некоторые условия, связывающие между собой коэффициенты квадратного трехчлена.
Подсказка 2 по первому варианту
Теперь, имея условие на коэффициенты трехчлена, останется только подставить в выражение для него x=2 и минимизировать получившуются величину.
Подсказка 1 по второму варианту
Условие, что парабола имеет вершину при x=2, можно записать алгебраически: это значит, что выделяя полный квадрат, мы получим скобку (х-2)^2.
Подсказка 2 по второму варианту
Далее получаем условие на коэффициенты трехчлена, связанные с тем, что искомая парабола касается двух прямых. Из этих условий коэффициенты определяются однозначно!
Пусть парабола 
касается обеих прямых 
и 
. Касание с прямой 
означает, что квадратное уравнение
имеет единственное решение, т.е. дискриминант 
этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие:
.
Аналогично, касание с прямой 
означает, что квадратное уравнение 
имеет единственное решение, поэтому
дискриминант 
этого квадратного уравнения также равен 
. Из этих двух равенств следует, что
, поскольку оба этих выражения равны 
. Решая это уравнение относительно 
, получаем 
. Подставим это
значение 
в формулу для 
и найдем 
. Подставим в уравнение параболы 
значения 
и 
:
получается выражение 
Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии 
.
Заметим, что 
, поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси 
, а значит, и 
. Поэтому мы можем
применить неравенство Коши: 
, откуда 
. Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно
достигается, когда 
. Перенося все слагаемые налево, получаем, что 
, откуда 
и 
.
Подставляя 
в формулу 
и помня, что 
, получаем 
и 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в
точке 
. Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть наша парабола имеет вершину в точке 
. Тогда ее уравнение выглядит так: 
для некоторых чисел 
и
.
Касание с прямой 
означает, что квадратное уравнение 
имеет единственное решение, т.е. дискриминант 
этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: 
.
Аналогично, касание с прямой 
означает, что квадратное уравнение 
имеет единственное решение, поэтому
дискриминант 
этого квадратного уравнения также равен 
. Из этих двух равенств следует, что
, поскольку оба этих выражения равны 
. Решая это уравнение относительно 
, получаем
. Подставим это значение 
в формулу для 
и найдем 
. Таким образом, мы нашли уравнение искомой
параболы:
в другой трактовке условия 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
