Игры на ФЕ
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даша выложила в ряд 
карточек 
на которых по порядку написаны натуральные числа от 1 до 
После этого она
перевернула две карточки чистой стороной вверх так, что произведение чисел между ними оказалось равным произведению всех остальных
видимых чисел. Какому же числу равно каждое из этих произведений?
Примечание. Слева или справа от перевёрнутых карточек может не оказаться ни одного числа.
Источники:
Подсказка 1
Подумайте, что будет, если не переворачивать карточку, содержащую достаточно большое простое число.
Подсказка 2
Нам надо переворачивать все карточки с большими простыми числами, потому что в ином случае мы не сможем получить равное произведение. Подумайте, всегда ли мы можем перевернуть эти карточки.
Подсказка 3
Нет, не всегда, потому что простых чисел может быть больше двух. Рассмотрите n ≥ 61.
Подсказка 4
А теперь разбивайте карточки на группы и думайте, какие карточки надо перевернуть и подходит ли нам такое n.
Подсказка 5
Для достаточно малых n придется рассматривать их точечно и оценивать состоятельность таких вариантов на основании делимости.
Заметим, что если на какой-то карточке встречается простое число 
то её надо перевернуть, поскольку иначе это число попадёт
в одно из произведений, а во втором произведении множителя 
не будет. Если таких числа хотя бы три, то придётся
перевернуть три карточки, что противоречит условию. Если же их два, то обязательно надо перевернуть именно эти две
карточки.
Отбросим некоторые значения 
- если
то надо перевернуть карточки 53, 59, 61;
- если
то надо перевернуть карточки 31, 37, 41;
- если
то надо перевернуть карточки 23, 29, 31;
- если
то надо перевернуть карточки 17 и 19, но между ними лишь число 18, что меньше, чем 16!;
- если
то надо перевернуть карточки 11 и 13, но между ними лишь число 12, что меньше, чем 10!.
Далее, при 
и 
нужно перевернуть карточки 7 и 11. Заметим, что 
и 
поэтому при 
условие
выполняется (произведение равно 720), а при 
не выполняется 
Если 
то одна из перевернутых карточек — 7. Пусть число на второй карточке равно 
Заметим, что если 
то каждое из
произведений вновь равно 720. Это второй подходящий вариант, но ответ тот же. Если 
то «внутреннее» произведение меньше
720, а «внешнее» не меньше 720. То же верно в случае, когда 
Если 
то надо перевернуть карточки 5 и 7, но между ними число 6, а «внешнее» произведение не меньше
4!.
Если 
то перевернуты карточки 3 и 5, но 
Если 
то одним из перевёрнутых чисел будет 5. Второе перевёрнутое число может быть только 1 или 2, иначе «внешнее»
произведение делится на 3, а «внутреннее» — нет, но 
и тем более 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
