Игры на ФЕ

Будем нумеровать игры с нуля. Тогда в игре с номером победитель получает денег.

Обозначим через сумму денег, на которую Паша стал богаче (а Игорь - беднее) по результатам всех игр.

Заметим, что последнюю игру Паша выиграл (иначе за неё он потерял бы больше денег, чем приобрел на всех предыдущих этапах). Значит, последовательность игр можно разбить на серии, в каждой из которых Паша выиграл последнюю игру и проиграл все остальные в серии (возможно, никакие). Если серия началась с игры номер и окончилась игрой номер то Паша выиграл за эту серию

Если то сразу же получаем серию из одного выигрыша такой же суммы

Итак, двоичное представление числа однозначно описывает набор выигранных Пашей игр (за исключением номера последней игры): слагаемое (для означает, что очередная серия началась с игры номер а предыдущая серия оканчивается победой на игре с номером

По условию, Но все числа от 901 до 998 содержат в двоичном представлении поэтому Паша выиграл и игры. При этом есть и последняя игра под номером 9, которую Паша тоже должен был выиграть (как мы отметили в начале решения). В итоге Паша выиграл хотя бы 4 игры.

Кроме этого, за первые 6 игр Паша должен был выиграть хотя бы 3 раза:

1.

из первых четырёх игр выиграна хотя бы одна, так как

2.

из двух следующих также выиграна хотя бы одна, так как

3.

если из первых четырёх выиграна только одна, то после них сумма не более пятая и шестая обязательно должны быть выиграны.

Таким образом, суммарно Паша выиграл не менее игр.

Пример для игр: изначально у Паши было рублей, у Игоря – рублей, всего сыграно 10 игр. Тогда

Значит, Паша выигрывал в играх с номерам а Игорь – в играх В конце у Паши окажется рубля, а у Игоря – рублей.