Классическая алгебра на Межведе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
и 
— некоторые числовые множества, а множество 
представляет собой их сумму.
(То есть множество 
состоит из всевозможных сумм элементов множеств 
и 
. Если, например, 
, то
.)
Известно, что 
, а максимальный элемент множества 
равен 
Докажите или опровергните следующие утверждения:
1) и множество 
, и множество 
содержат конечное число членов;
2) все элементы множеств 
и 
— целые числа;
3) минимальный элемент множества 
не превосходит числа 
Источники:
1) если множество 
или множество 
бесконечно, то и множество 
будет бесконечно, а это не так.
Поэтому можем обозначить через 
максимальные элементы этих множеств соответственно и заметить для решения п.3, что
.
Отдельно отметим, что такие множества существуют: например, 
.
2) через разложение по биному доказывается, что 
целое. Тогда если бы 
содержало нецелые, то и 
содержало
бы нецелые. Поэтому все элементы множества 
целые. Отсюда аналогично получаем, что все элементы множества 
целые.
3) из предыдущих пунктов понимаем, что неравенство 
равносильно неравенству 
Докажем даже более
слабое неравенство:
Для этого заметим, что 
, поэтому достаточно доказать 
А по биному Ньютона получаем
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
