Классическая алгебра на Межведе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
и 
— некоторые числовые множества, а множество 
представляет собой их сумму.
(То есть множество 
состоит из всевозможных сумм элементов множеств 
и 
. Если, например, 
, то
.)
Известно, что 
, а максимальный элемент множества 
равен 
Докажите или опровергните следующие утверждения:
1) и множество 
, и множество 
содержат конечное число членов;
2) все элементы множеств 
и 
— целые числа;
3) минимальный элемент множества 
не превосходит числа 
Источники:
Подсказка 1
Понятно, что первые два пункта про понимание операции сложения для множеств, а третий — про оценочки. Давайте предположим, что какое-то из множеств бесконечно. Что тогда можно сказать про сумму множеств, если мы будем даже с одним элементом из другого (возможно конечного) суммы находить?
Подсказка 2
Верно, у нас получится множество вида A + b = {a + b, a из A}, при фиксированном b множество A + b бесконечно, а поскольку оно подмножество суммы A + B, то пришли к противоречию. Теперь второй пункт. Если бы у нас был какой-то целый элемент в одном из множеств, то была бы победа, потому что надо посмотреть на сумму элемента и другого множества и кое-что понять…
Подсказка 3
Потому что сумма с ним другого множества — это подмножество C, и если хоть какой-то элемент в другом множестве был бы нецелым, то и в С содержался бы нецелый элемент. При этом, поскольку все элементы другого множества целые, то и сумма любого элемента с нашим множеством, откуда начальный целый элемент — тоже целое. Значит пункт (2) доказан по модулю того, что в одном из множеств есть целый элемент. Хмм… Ну видимо, максимальный элемент А — целый, ведь про другие элементы вообще ничего не известно. А почему максимальный элемент а — целый?
Подсказка 4
Максимальный элемент целый из того, как раскрывается бином Ньютона для таких выражений. Осталось доказать пункт (3). Нам надо доказать, что минимальный элемент не больше чего-то… Но у нас есть косвенная информация только про максимальный элемент b, поскольку именно он в сумме с максимальный элементом a, дает максимальный элемент с. Это значит, что нам надо доказать, что b ≤ 2²⁸²⁸ - 2²⁵²⁵, ведь тогда и для минимального будет выполнена эта оценка. Чему это равносильно и как это доказывать, если заметить, что 2020 = 4 * 505, а 2525 = 5 * 505?
Подсказка 5
Это равносильно тому, что a ≥ 2²⁵²⁵, в силу вышеупомянутого равенства на сумму максимальных элементов. При этом надо понимать, что в а у нас одно слагаемое вносит в рост числа куда больше чем другое, поскольку одно слагаемое — это некоторое число, меньшее 1, в огромной степени, а другое — большее 1, в огромной степени. Значит, одно из них очень маленькое и нам можно его откинуть и доказывать, что первое слагаемое больше 2²⁵²⁵. Дальше дело только за алгеброй и оценкой выражения √2.
1) если множество 
или множество 
бесконечно, то и множество 
будет бесконечно, а это не так.
Поэтому можем обозначить через 
максимальные элементы этих множеств соответственно и заметить для решения п.3, что
.
Отдельно отметим, что такие множества существуют: например, 
.
2) через разложение по биному доказывается, что 
целое. Тогда если бы 
содержало нецелые, то и 
содержало
бы нецелые. Поэтому все элементы множества 
целые. Отсюда аналогично получаем, что все элементы множества 
целые.
3) из предыдущих пунктов понимаем, что неравенство 
равносильно неравенству 
Докажем даже более
слабое неравенство:
Для этого заметим, что 
, поэтому достаточно доказать 
А по биному Ньютона получаем
требуемое.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
