Функции в натуральных/целых/рациональных числах
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
где 
Подсказка 1
Равенство, данное в условии, очень похоже на работу с натуральными числами) А какая известная теорема, связанная с произведением, приходит на ум при виде условия?
Подсказка 2
Основная теорема арифметики! Но при работе с разложением на множители, единичке нужно особо внимание. Попробуем подставить y=1. Подумаем, на значения в каких точках условие почти не влияет, а в каких - условие помогает определить точное значение?
Подсказка 3
Значения в f(x), где x - составное, полностью определяются значениями в точках f(p_i), где p_i --- i-тое простое число. Возьмем f(p_i) = c_i и убедимся, что c_i может быть произвольным!
Если взять 
мы получим равенство 
откуда 
По основной теореме арифметики любой аргумент 
функции 
представляется в виде 
где 
— простые числа.
Поэтому
То есть функция однозначно определяется значениями в аргументах, являющиеся простыми множителями. Осталось учесть, что эти значения должны быть натуральными числами, потому что область значений функции по условию — натуральные числа.
Если 
то 
иначе 
— каноническое разложение, и 
где 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
