Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Покажем, что функция инъективна. Пойдём от противного, пусть нашлись такие что Тогда и Заметим, что левые части равенств равны, а правые — нет, противоречие. Таким образом, функция инъективна.

Рассмотрим область значений функции. Из функционального равенства следует, что все натуральные значения, большие принимаются. А как обстоит ситуация с значениями от до

Предположим, что функция не принимает ни одного значения из Рассмотрим число из данного отрезка. Пусть По условию В силу инъективности значит всё же значение принимается.

Из условия ясно, что значит Но тогда функция не может принимать значение В противном случае если при некотором то — противоречие. Тогда понятно, что также лежит в отрезке поскольку другие значения принимаются.

Тогда все натуральные числа от до можно разбить на пары такие, что значение функцией не принимается и Очевидно, что внутри пары числа не могут совпадать. Теперь поймём от противного, что не может быть пар с одинаковыми числами. Рассмотрим случаи:

Пусть нашлись пары и Тогда из одной пары следует, что значение принимается, а из другой — что значение не принимается, противоречие.

Пусть нашлись пары и тогда а значит в силу инъективности то есть это одна и та же пара.

Пусть нашлись пары и тогда и откуда то есть опять же пары совпали.

Таким образом, мы разбили натуральные числа от до на пары. Осталось понять, что так сделать нельзя, поскольку их количество нечётное, а значит таких функций не существует.