Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Докажем, что значение функции определено однозначно для любой рациональной точки где — натуральные взаимно простые числа. Доказывать будем индукцией по Проверим базу для Подставив в первое уравнение, получаем, что

Теперь будем доказывать переход. Пусть верно для докажем для Предположим, что и оба числа нечетные. Подставим во второе уравнение Тогда причем у дроби числитель и знаменатель четны, тогда их сумма в несократимой записи меньше, чем следовательно мы однозначно восстановили значение в этой точке.

Нам осталось разобраться со случаем, когда одно из чисел четное, а другое — нечетное. Не нарушая общности пусть — четное число.

Запустим следующий процесс. Изначально напишем на доске дробь Далее, если на очередном шаге написана дробь где — четное, взаимно просты, то заменяем ее на дробь если же четным числом является а также взаимно просты, то сначала заменим дробь на а потом сделаем то же самое. Заметим. что сумма числителя и знаменателя дроби на доске не увеличивается. Если она уменьшилась, то мы пришли к дроби, для которой значение функции определено. Тогда откатившись назад с помощью уравнений из условия мы однозначно восстановим значение нашей дроби. Если же сумма всегда равна то поскольку дробей конечное число, то рано или поздно мы зациклимся (то есть из некоторой дроби придем в нее же). Пусть значение функции от этой дроби равно Тогда на каждом шаге значение заменялось либо на либо на И в итоге мы пришли опять в Заметим, что у нас получилось линейное уравнение относительно причем коэффициент при не равен поскольку с одной стороны он равен а с другой — для некоторого натурального То есть из этого уравнения мы однозначно восстановим но тогда откатившись из назад, мы восстановим значение и в исходной точке.

То есть мы доказали, что определена однозначно. Осталось лишь проверить, что подходит.