Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Пусть — НОК Введём такую функцию что Индукцией по сумме покажем, что — тождественный ноль.

База: откуда что и требовалось.

Переход: Распишем равенство через функцию ( и будем записывать как и где — ):

Раскроем скобочки, приведём подобные и домножим полученное равенство на

Теперь рассмотрим выражение где — натуральное число, не большее Пусть тогда

По полученному выше равенству имеем: Заметим, что тогда по предположению а значит и

Таким образом, единственная подходящая функция — НОК