Тема . Функции

Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела функции

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80948

Найдите все $f :ℤ → ℤ , ≥0 ≥0$ для которых при любых $x,y ∈ ℤ ≥0$ выполнено $f(x2 +y2)= x⋅f(x)+ y⋅f(y)$

Показать ответ и решение

Сначала подставим $x =y =0$ в исходное уравнение. Получим $f(0)=2f(0),$ откуда $f (0)= 0.$ Далее, подставив $y = 0,$ получаем, что $( 2) f x = xf(x).$

Докажем индукцией по $n,$ что $f(n)=nf (1).$

Базу будем проверять для всех $n = 1,2,3,4,5,6,8,10.$

Утверждение для $n =1$ очевидно.

Утверждение для $n =2$ следует из подстановки $x= y = 1.$

Утверждение для $n =5$ следует их подстановки $x= 2,y = 1.$

Утверждение для $n =4$ следует из того, что $(2) f x = xf(x).$

Утверждение для $n =8$ следует из подстановки $x= y = 2.$

Далее заметим, что при подстановке $( ) x= ka2− b2 ,y =2kab:$

( ( ) ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) f k2 a2+ b2 2 = k a2+b2 f k a2+b2 =k a2− b2f k a2− b2 + 2kabf(2kab)

k (a2+ b2)f (k (a2+ b2))= k(a2− b2)f(k(a2− b2))+ 2kabf(2kab)

Утверждение для $n =3$ следует из подстановки в полученное равенство $a= 2,b=1,k= 1.$

Утверждение для $n =10$ следует из подстановки в исходное уравнение $x =3,y = 1.$

Утверждение для $n =6$ следует из подстановки в последнее равенство $a= 2,b =1,k= 2$ и предыдущих утверждений.

Теперь докажем переход для $n= k.$ Предположим сначала, что $k$ нечетно. Тогда по условию

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) kf(k)+ k−-5f k−-5 = f k2+ k-− 5 2 = f (k− 2)2+ k-+3 2 = 2 2 2 2

( ) ( ( ) ) = (k− 2)f (k− 2)+ k+-3f k+-3 =f (1) (k− 2)2+ k-+3 2 2 2 2

То есть

( ( )2 ( )2) kf (k)= f(1) (k − 2)2+ k+-3 − k−-5 =k2f(1) 2 2

откуда $f(k)= kf(1).$

Если же $k$ четно, то

k− 10 (k− 10) ( ( k− 10)2) ( ( k+6 )2) kf (k)+ --2--f --2-- =f k2+ --2-- = f (k− 4)2 + -2-- =

k+-6 (k+-6) ( 2 (k-+6)2) = (k− 4)f (k− 4)+ 2 f 2 =f (1) (k− 4)+ 2

То есть

( ( ) ( ) ) kf(k)= f(1) (k− 4)2+ k-+6 2− k−-10- 2 = k2f(1) 2 2

откуда $f(k)= kf(1).$

Все тождества в переходе корректны, поскольку три других числа из подстановок всегда меньше $k,$ а также все они не меньше 0 (для этого мы и проверяли базу для многих $n$ ).

Ответ:

$f(x)= kx$ для всех $x∈ ℤ ≥0$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Функции в натуральных/целых/рациональных числах

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ