Тема . Остатки и сравнения по модулю

Выбор модуля для доказательства делимости / простоты / степени

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31387

Докажите, что число 22022+41  можно представить в виде произведения четырёх натуральных чисел, каждое из которых больше единицы.

Источники: по мотивам задачи 3 из ОММО - 2013

Показать доказательство

Покажем, что число из условия делится на 3,5,7  :

Начнём с 3  :

2              2022   1011              2022
2 ≡1 (mod 3)=⇒ 2   ≡ 1   ≡ 1 (mod 3)⇐ ⇒ 2  + 41 ≡42≡ 0 (mod 3)

Аналогично с 5  и 7  :

4              2020              2022              2022
2 ≡1 (mod 5)=⇒ 2   ≡ 1 (mod 5)⇐⇒ 2  ≡ 4 (mod 5) ⇐⇒ 2  + 41 ≡0 (mod 5)

3              2022              2022
2 ≡1 (mod 7)=⇒ 2   ≡ 1 (mod 7)⇐⇒ 2  + 41 ≡42 ≡0 (mod 7)

Очевидно, что  2022
2   + 41 >3⋅5⋅7  , поэтому  2022
2   +41 =3⋅5⋅7⋅n,  причём n >1  , поэтому мы получили искомое представление.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!