Тема . Остатки и сравнения по модулю

Выбор модуля для доказательства делимости / простоты / степени

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела остатки и сравнения по модулю
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#89228

Натуральные числа x,y,z  и n  таковы, что n= xy+ yz+zx,  а число (x+ y)50+ (y +z)50 +(z+ x)50  делится на n.  Докажите, что существуют натуральные числа a,b  и c,  меньшие n,  и такие, что число  100   100   100
a  + b  + c  делится на n.

Показать доказательство

Домножим выражение из условия на (xyz)50.  Заметим, что

    50     50     50       50     50    50     100
(xyz) (x +y)  ≡(xy) (xz+yz)  ≡(xy) (− xy)  ≡ (xy)    (mod n)

Аналогично два других слагаемых сравнимы с (yz)100  и (zx)100.  Тогда получаем, что выражение (xy)100+ (yz)100 +(zx)100  делится на n.  Значит, можно взять a= xy,b= yz,c=zx.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!