Выбор модуля для доказательства делимости / простоты / степени

Далее все сравнения по модулю Заметим, что если исходно не делилось на то мы должны на каком-то шаге получить Значит, или или Во втором случае остаток мы могли получить только из но тогда чего не бывает. Значит, на каком-то шаге

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Найдём для начала такие простые числа, для которых не существует решения такого уравнения в целых числах.

Теперь заменим четные числа из левой скобки на Пусть Тогда этих чётных чисел

Значит, для Пусть Тогда этих чётных чисел

Значит, для

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Покажем, что простых вида бесконечно много. Пусть их конечно, они Рассмотрим число Оно даёт остаток по модулю при этом не делится на поскольку первое слагаемое делится, а второе — нет. Также оно не делится на все из простых чисел нужного вида (кроме тройки, но она только в первой степени). Значит, имеется ещё какой-то делитель нужного вида (ведь мы не можем получить остаток по модулю произведением остатков

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть есть решение у Возведём в степень Тогда для

Противоречие, поэтому такого не найдётся. Для выбранного Вадимом начального числа найдём достаточно большое вида тогда изначально остаток по модулю у числа не и не Значит, после наших операций никогда не получится числа, делящегося на