Муниципалка 10 - 11 класс
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма всех различных натуральных делителей некоторого натурального числа на 6 больше, чем само это число. Найдите это число. Если ответов несколько, укажите их все через пробел в порядке возрастания.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте посмотреть на разные числа и их сумму делителей. Если брать не простое число большее 7, то чаще всего сумма делителей числа минус само число будет сильно больше 5. То есть, нам нужно искать эти числа именно по тому признаку, что сумма их делителей достаточно маленькая, но это не простые числа, так как сумма делителей простого чисел отличается всего на 1 от него самого. Подумайте, на что тогда может делиться наше число.
Подсказка 2
Давайте рассуждать. Пусть оно делиться, к примеру на 7 и не равно 7. Тогда сумма делителей числа n - это 1, n, 7, n/7… и еще какие-то, которые мы не знаем. Но сумма делителей в данном случае хотя бы n + 1 + 7, то есть, больше чем n + 6(как требует задача). Значит, на 7 оно не может делиться. А на что-то большее может? Тоже нет. Значит, осталось рассмотреть случаи когда n делиться только на какие-то числа от 2 до 6. При этом, как мы поняли, сумма делителей, которые не равны 1 и n, равна 5. Какие тогда числа могут быть делителями n?
Подсказка 3
Верно, числа 2, 3, 5. Если 5 , то больше делителей отличных от 1 и n нет, а значит - это число 25. А если на 2 делиться, то другой делитель это как раз 3, и поскольку тогда n делиться на 6, но это не может быть его делителем, отличным от 1 и n, значит n = 6. Победа.
Заметим, что один из делителей числа 
— самое число 
. Поэтому условие на самом деле означает, что сумма остальных делителей 
равна 6. Среди делителей точно есть 1, значит, сумма остальных делителей равна 5. Три делителя не могут давать сумму 5.
Два делителя, больших 1, дают в сумме 5, только когда это 2 и 3, а один делитель равен 5, только если это само число
5.
В первом случае все делители числа — это 1, 2, 3 и само число. Так как у числа, делящегося на 2 и 3, точно есть делитель 6, то
.
Во втором случае все делители числа — это 1, 5 и само число. Значит, 
. Но 
, а при 
у числа 
был бы ещё делитель
, отличный от выписанных. Значит, 
и 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
